Resumen
Albis, V.: Análogos en Fq [X] de conjeturas famosas de la teoría de los Números. Rev. Acad. Colomb. Cienc. 17 (66): 489-504, 1990. ISSN 0370-3908.
Se discuten las conjeturas de Goldbach, Fermat y Catalan, Riemann (hipótesis), Weil, Artin (sobre raíces primitivas) y Borevich y Shafarevich (sobre la serie de Poincaré de un polinomio de coeficientes e-ádicos). Para las mismas se formulan análogos más fácil- mente demostrables mediante la substitución del anillo Z de los números enteros por el anillo Fq [X] de los polinomios en la indeterminada X y coeficientes en un cuerpo finito Fq de q elementos. Se proporcionan datos históricos y se señalan algunas posibilidades de investigación adicional.
Referencias
ABHYANKAR, S. 1975. High-school algebra in algebraic geometry. Historia Mathematica 2, 567–572.
ABHYANKAR. 1976. Historical ramblings in algebraic geometry and related algebra. Amer. Math. Monthly 83, 409–449.
ALBIS, V.S. 1988. Lecciones sobre la teoría aritmética de polinomios. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia (Policopiado).
ALBIS, V.S. & CHAPARRO, R. 1989. On a conjecture of Borevich and Shafarevich in arithmetic function fields. (Manuscrito.)
ARTIN, E. 1924. Quadratische Körper in Gebiete der höheren Kongruenzen I, II. Math. Zeitschrift 19, 153–246.
BERLINE, C. & CHERLIN, G. 1981. QE rings characteristic p. Proceedings of the Storrs Conference.
BILHARZ, H. 1937. Primdivisoren mit vorgegebener Primitivwurzeln. Math. Ann. 114, 476–492.
BOREVICH, Z.I. & SHAFAREVICH, I.R. 1966. Number Theory. New York: Academic Press.
CAR, M. 1984. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A273, 201–204.
CAR, M. 1984. Le théorème de Chen pour Fq[X]. Diss. Math., 54 págs.
CATALAN, E. 1842. Problème 48. Nouvelles Annales de Mathématiques 1, 520.
CHEN, Jing-run. 1966. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. Kexue Tongbao 17, 385–386.
DENEF, J. 1984. The rationality of the Poincaré series associated to the p-adic points on a variety. Inventiones Mathematicae 77, 1–23.
EDWARDS, H.M. 1974. Riemann's Zeta Function. New York: Academic Press.
GAUSS, C.F. 1801. Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig.
GAUSS. 1806. Recherches Arithmétiques. Paris: Courcier.
GOLDSTEIN, L.J. Density questions in algebraic number theory. Amer. Math. Monthly 78, 342–353.
GREENLEAF, N. 1969. On Fermat's equation in C(t). Amer. Math. Monthly 76, 808–809.
HARDY, G.H. 1914. Sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann. C. R. Acad. Sci. Paris 158, 1012–1014.
HASSE, H. 1952. Ueber die Artinsche Vermutung verwandte Dichtefrage. Ann. Acad. Sci. Fennicae, Ser. A, I, Math.-Phy. 116.
HAYES, D.R. 1963. A polynomial analog of the Goldbach conjecture. Bull. Amer. Math. Soc. 69, 115–116.
HAYES. 1963. Correction to “A polynomial…”. Bull. Amer. Math. Soc. 69, 493.
HAYES. 1966. The expression of a polynomial as a sum of three irreducibles. Acta Arith. 11, 461–488.
HAYES, D.R. & NUTT, M.D. 1982. Reflective functions on p-adic fields. Acta Arith. 40, 229–248.
HILBERT, D. 1902. Problèmes futures des mathématiques. C. R. 2ème Congr. Int. Math., Paris.
HOOLEY, C. 1967. On Artin’s conjecture. J. reine angew. Math. 225, 209–220.
IGUSA, J.–I. 1974. Complex powers and asymptotic expansions. I. J. reine angew. Math. 268/269, 110–130; II. 278–279 (1975), 307–321.
IGUSA,1977. Some observations on higher degree characters. Amer. J. Math. 99, 393–417.
KATZ, N. 1976. An overview of Deligne’s proof of the Riemann hypothesis for varieties over finite fields. Proc. of Symposia in Pure Math., Vol. 28, 275–305.
KORKINE, A. 1880. Sur l’impossibilité de la relation algébrique Xⁿ + y² + zⁿ = 0. C. R. Acad. Sci. Paris 90, 303–304.
LIOUVILLE, R. 1879. Sur l’impossibilité de la relation algébrique Xⁿ + y² + zⁿ = 0. C. R. Acad. Sci. Paris 87, 1108–1110.
NATANSON, M. 1974. Catalan's equation in K(t). Amer. Math. Monthly 81, 371–373.
RIBENBOIM, P. 1979. 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem. New York/Heidelberg/Berlin: Springer-Verlag.
RIBENBOIM 1984. Remarks on existentially closed fields and diophantine equations. Rend. Sem. Math. Univ. Padova 71, 229–237.
RIEMANN, B. 1859. Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. In Gesammelte Werke. New York: Dover, 1953.
SILVERMAN, J.H. 1982. The Catalan equation over function fields. Trans. Amer. Math. Soc. 273, 201–205.
TIJDEMAN, R. 1976. On the equation of Catalan. Acta Arith. 29, 197–209.
VINOGRADOV, I.M. 1937. La representación de un número impar como la suma de tres números primos (en ruso). Dokl. Akad. Nauk SSSR, 139–142.
VINOGRADOV 1971. Fundamentos de la teoría de los números. Moscú: Mir.
WEBB, W.A. 1983. Sieve methods for polynomial rings over finite fields. J. Number Theory 16, 343–355.
WEIL, A. 1948. Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduissent. Paris: Hermann.
WEIL 1949. Number of solutions of equations in a finite field. Bull. Amer. Math. Soc. 55, 497–508.

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